Думное голосование. С точки зрения банальной математики

"Умное голосование" (оно же УГ, оно же УмГ, в зависимости от отношения к нему), чего и следовало ожидать, попало в опалу. Что окажется эффективнее - оно само или его блокировки - вопрос диалектический, сейчас не об этом. И даже не о том, нужно ли его поддерживать. Кстати, довольно иронично называть "умным" подход "мы уже подумали за вас", ну да ладно.

Ключевым моментом является то, что апологеты старого доброго tactical voting, только в профиль под новым брендом, делают акцент исключительно на мажоритарной части выборов в Госдуму. Хитрости там особой нет - дабы задавить одну силу, остальным предлагают консолидироваться, вопрос только, вокруг кого в каждом округе - тут-то и возможны просчеты, но это ошибки не самого метода, а конкретной аналитики.

При этом о пропорциональной части, несмотря на то, что это 50% от всех мандатов, упоминается лишь вскользь - мол, если вы против монополизма Партии Жрецов и Властителей, голосуйте за любую партию, имеющую шансы на прохождение барьера 5%. А вот здесь-то и кроется нюанс - за любую ли? Разберем этот вопрос, вооружившись беспристрастными формулами теории вероятностей и азами теории игр. А чтобы разбавить тонны матана, обратимся к персонажам одной крыловской басни.

Пусть в выборах участвует квартет в составе: проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка, раз за разом стабильно преодолевающие 5% порог; однако среди остальных зверей и птиц появляется некоторый шанс на 5% у Соловья (нет, другого). Поставим себя на место избирателя, одержимого одной идеей - сделать так, чтобы Мишка получил как можно меньше мандатов - всего их 225, распределяются они между всеми преодолевшими 5% пропорционально их официальным результатам. "Выигрышем" в таком случае удобно считать количество мандатов, не доставшихся Мишке. Рассмотрим всевозможные стратегии:


- Неявка, порча бюллетеня и голос за заведомо непроходных - одинаковым образом не влияют на ключевой показатель для распределения мандатов, а именно долю голосов за Мишку от суммы всех голосов за прошедших 5% барьер. Примем исход в этой стратегии за базовый.
- Голос за Мишку - заведомо наихудшая стратегия: выигрыш либо не изменится, либо с какой-то ненулевой вероятностью уменьшится (если голос станет решающим и счетчик мандатов из-за него перещелкнет на единичку).

А) Голос за Осла, Козла или Мартышку - приводит к одинаковой вероятности выигрыша 1 мандата (опять-таки если повезет своим голосом попасть в узкую полосу исходов). Вне зависимости от того, кто из них на втором месте, кто на третьем и четвертом (при условии, что все они проходят гарантированно).
Б) Голос за Соловья - главный вклад в выигрыш в этом случае дает вероятность такой ситуации, что доля его голосов экстремально близка к 5%, и рассматриваемый избиратель своим голосом как раз-таки поможет преодолеть барьер. В этом случае Соловей разом получает не менее 11 (а скорее что-то вроде 13-14) мандатов, которые отбираются у квартета - а поскольку Мишка лидирует, у него будут и самые большие потери.

Для сравнения матожиданий выигрыша в двух последних случаях нужно оценить возможные проценты. Допустим, поизучали мы ситуацию и с достаточно высокой уверенностью получили такие цифры (не стоит зацикливаться на конкретном примере, подбираю удобные для дальнейших расчетов правдоподобные цифры):

Официальная явка - 50 млн избирателей;
Сумма голосов за квартет - 40,5 млн (81%);
Количество голосов на 1 мандат - 180 тысяч.

В этом случае, если мы располагаем одним голосом и выбираем стратегию А, вероятность повлиять им на результат равна 1/180000, или 0,00000556 (5,56 миллионных). Это шансы на то, что среди всевозможных количеств голосов за Мишку в общей 40,5-миллионной массе их количество в точности такое, что один какой-то мандат находится в подвешенном состоянии - а такие точки равномерно распределены по всей оси с указанной частотой. Если избиратель не абы кто, а лидер мнений, и собрал вокруг себя 1000 человек, договорившихся голосовать одинаково, вероятность будет в 1000 раз больше (0,556%, или 5,56 тысячных). Но осторожно, если повышать размер группы дальше, будет уже нелинейная зависимость.

С вероятностью 5,56 миллионных своим голосом по стратегии А получаем выигрыш в 1 дополнительный мандат кому-то кроме Мишки, во всех остальных случаях не прибавляем ничего. Матожидание выигрыша, таким образом, равно 0,00000556 мандата.
___

Что же нам сулит стратегия Б? Здесь сложнее - нужно очень аккуратно оценить вероятность того, что результат Соловья экстремально близок к 5%, для этого проще всего оценить диапазон возможных результатов.

Допустим, поизучали и решили, что с высокой уверенностью Соловей получит от 3% до 5,5% от всех голосов (от 1,5 до 2,75 миллиона), и плотность вероятности в этом диапазоне более-менее равномерная (то есть вероятность попадания в какой-то небольшой диапазон равна его доле от общих 5,5%-3%=2,5%, то бишь 1,25 млн голосов между максимумом и минимумом).

При этом остальные вводные не меняются - сумма у квартета остается равной 81% (см. выше). Теперь добавим сюда оценку среднего процента за конкретно Мишку - ну пусть 43%, чуть больше половины от всей четверки.

Тогда шансы на то, что именно конкретный голос позволит Соловью перешагнуть за 5%-й барьер, равна 1/1250000 = 0,8 миллионных. А что там с мандатами? Без Соловья Мишка получил бы 43/81*225 = 119,44 мандатов (что после процедур округления по методу Хэйра превратится в 119 или 120, в зависимости от непредугадываемых дробных остатков у остальных). С Соловьем же, набравшим 5% - всего лишь 43/86*225 = 112,5, то есть чистый выигрыш (уменьшение результата Мишки) составляет в среднем около 6,94 мандата (сама птица получает при этом 13, но свои 6 теряют и Осел-Козел-Мартышка).

Кроме того, в 1/5 случаев - верхней части диапазона, соответствующей результату от 5% до 5,5% (весь диапазон, напомню, 3-5,5%) Соловей включается в гонку, аналогичную описанной выше в стратегии А - отвоевывание мандатов у Мишки по одному. Поскольку сумма процентов за проходные партии теперь уже чуть более 86%, а не 81%, на один мандат приходится не 180 тысяч голосов, а 191 - 192 тысячи, и шансы ткнуть в критическую точку - в среднем 1/191500 = 5,22 миллионных.

Подытожим: матожидание выигрыша за счет проведения Соловья в "элиту" выходит равным 0,0000008*6,94 = 5,56 миллионных (то есть ровно столько же, сколько в стратегии А). За счет дальнейшего распределения голосов теперь уже на пятерых - 1/5*0,00000522 = 1,04 миллионных, итого 6,6 миллионных, и это при довольно сдержанных ожиданиях результата Соловья.

Здесь первые сомножители соответствуют вероятности того или иного априорного результата в заданном диапазоне, а вторые - выигрыши мандатов при них. В 4/5 случаев выигрыш нулевой, однако вся соль в "джекпоте" в виде прохождения барьера 5%.


Вывод из всего этого колдунства - в случае, когда появляется кандидат с ощутимыми шансами на преодоление проходного барьера, стратегически верным решением является поддержка этого кандидата. В конкретном примере гарантия его прохождения сразу отбирает у Мишки 7 мандатов; чтобы добиться такого же эффекта путем голосования за остальных членов квартета, нужен ресурс в виде целых 5% дополнительных избирателей, который гораздо сложнее собрать, чем добить до 5% результат Соловья с какой-либо далеко не нулевой исходной точки.

Если вы понимаете, о чем я. Если нет - ну ок.