Всеволод Баширов (sevabashirov) wrote,
Всеволод Баширов
sevabashirov
Categories:

Об оптимальном размере турнирной "элиты"

Решил математически вывести оптимальный размер "элиты" в турнире с N игроков. Практически это может быть выражено или как размер призовой зоны (допустим, в крупном покерном турнире, где вылетающие один за другим игроки обеспечивают своими взносами призовой фонд для группы лидеров), либо же как количество участников финальной (основной) стадии чемпионата мира или континентального первенства - в зависимости от количества участников квалификационного этапа.

Как к этому подступиться? Сразу же очевидно, что E(N) - так обозначим итоговое количество отбираемых игроков/команд - явно меньше, чем N/2, и чуть менее очевидно, что зависимость нелинейная - не фиксированный процент. Степенная ли, логарифмическая - уже с наскока не понять. И здесь в голову приходит известный и универсальный закон Ципфа, он же - правило "ранг-размер": относительные величины чего угодно (однородных элементов с одинаковыми критериями роста), выстроенные по убыванию, в пределе стремятся к гармоническому ряду 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/K - ... Предположим, что объективная оценка относительной силы (и как следствие, потенциальных вознаграждений) участников турнира также подчиняется этому закону.


1) Рассмотрим первые N чисел гармонического ряда - их сумма называется гармоническим числом H(N). "Элитой" при этом является та верхушка, числа которой больше среднего значения H(N)/N. Допустим, сумма первых 100 чисел равна ~5,187, среднее 1/20 < ~0,05187 < 1/19, таким образом E(100)=19. Интерпретация - сколько игроков выйдет в плюс, если в общий фонд все скинулись поровну, а распределен он на всех "по заслугам" в соответствии с гармоническим рядом.

2) В первом способе мы отталкивались от гармонического распределения на всех N участников, теперь попробуем поступить наоборот - подчиним этому закону именно "награждаемую" элиту, и найдем обратную зависимость возможных N от фиксированного E. Допустим, шестое гармоническое число H(6)=1+1/2+...+1/6=2,45 (угадайте, почему выбрал для примера именно его). Общее количество участников для E=6 должно быть таким, чтобы взнос каждого был строго меньше, чем минимальная из наград - 1/6, то есть N > H(E)*E, в данном случае больше 2,45*6=14,7, то есть хотя бы 15. Для E=7 минимальное N уже равно 19, потому что H(7)*7=18,15, то есть шесть призовых мест соответствуют N от 15 до 18.

Да, зависимость таки логарифмическая, поскольку H(N) приближается к ln(1,781...*N).

Ниже - таблица рассчитанных оптимальных размеров "элиты" E двумя способами для N от 3 до 230.

N E N E N E N E N E N E
3 1 1 41 9 12 79 15 21 117 21 29 155 27 36 193 33 44
4 1 2 42 9 13 80 16 21 118 22 29 156 27 37 194 33 44
5 2 2 43 9 13 81 16 21 119 22 29 157 27 37 195 33 44
6 2 3 44 10 13 82 16 22 120 22 30 158 27 37 196 33 44
7 2 3 45 10 13 83 16 22 121 22 30 159 28 37 197 33 44
8 2 3 46 10 14 84 16 22 122 22 30 160 28 37 198 33 45
9 3 4 47 10 14 85 16 22 123 22 30 161 28 38 199 33 45
10 3 4 48 10 14 86 17 23 124 22 30 162 28 38 200 34 45
11 3 4 49 10 14 87 17 23 125 23 31 163 28 38 201 34 45
12 3 5 50 11 15 88 17 23 126 23 31 164 28 38 202 34 45
13 4 5 51 11 15 89 17 23 127 23 31 165 29 38 203 34 45
14 4 5 52 11 15 90 17 23 128 23 31 166 29 39 204 34 46
15 4 6 53 11 15 91 17 24 129 23 31 167 29 39 205 34 46
16 4 6 54 11 15 92 18 24 130 23 32 168 29 39 206 34 46
17 4 6 55 11 16 93 18 24 131 24 32 169 29 39 207 35 46
18 5 6 56 12 16 94 18 24 132 24 32 170 29 39 208 35 46
19 5 7 57 12 16 95 18 24 133 24 32 171 29 39 209 35 47
20 5 7 58 12 16 96 18 25 134 24 32 172 30 40 210 35 47
21 5 7 59 12 17 97 18 25 135 24 33 173 30 40 211 35 47
22 5 8 60 12 17 98 18 25 136 24 33 174 30 40 212 35 47
23 6 8 61 12 17 99 19 25 137 24 33 175 30 40 213 35 47
24 6 8 62 13 17 100 19 25 138 25 33 176 30 40 214 35 47
25 6 8 63 13 18 101 19 26 139 25 33 177 30 41 215 36 48
26 6 9 64 13 18 102 19 26 140 25 33 178 30 41 216 36 48
27 6 9 65 13 18 103 19 26 141 25 34 179 31 41 217 36 48
28 7 9 66 13 18 104 19 26 142 25 34 180 31 41 218 36 48
29 7 9 67 13 18 105 20 26 143 25 34 181 31 41 219 36 48
30 7 10 68 14 19 106 20 27 144 25 34 182 31 42 220 36 49
31 7 10 69 14 19 107 20 27 145 26 34 183 31 42 221 36 49
32 7 10 70 14 19 108 20 27 146 26 35 184 31 42 222 37 49
33 8 10 71 14 19 109 20 27 147 26 35 185 31 42 223 37 49
34 8 11 72 14 20 110 20 28 148 26 35 186 32 42 224 37 49
35 8 11 73 14 20 111 20 28 149 26 35 187 32 42 225 37 50
36 8 11 74 15 20 112 21 28 150 26 35 188 32 43 226 37 50
37 8 11 75 15 20 113 21 28 151 26 36 189 32 43 227 37 50
38 8 12 76 15 20 114 21 28 152 27 36 190 32 43 228 37 50
39 9 12 77 15 21 115 21 29 153 27 36 191 32 43 229 38 50
40 9 12 78 15 21 116 21 29 154 27 36 192 32 43 230 38 50

Частный вывод: чемпионаты Европы и Азии по футболу (N = 55 и 47) не следовало расширять с 16 до 24 команд, тем более что 16 - наиболее удобное число с точки зрения турнирных схем для "дуэльных" видов спорта (2^2^2). А вот расширение ЧМ (N = 211) с 32 до 48 команд - вполне, хотя можно было и до 40; в любом случае схема турнира сложнее, и это уже отдельный вопрос.

Tags: ©, рацпредложение, турниры, футбол, числа
Subscribe

Posts from This Journal “турниры” Tag

promo sevabashirov март 5, 2014 19:02 13
Buy for 10 tokens
​* Здесь могла быть ваша реклама *
Таки да. Промо-блок работает, стартовая сумма за размещение - 10 жжж, ниже некуда. Размещать можно любые посты. То есть абсолютно.
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
    Help
  • 28 comments

Posts from This Journal “турниры” Tag